Mathematica的“精确解”和“数值解”得到的本征矢为何不一样？

闲谈

对于Mathematica，我发现对于两个相同的矩阵，也就是Mathematica判断为True的两个矩阵，分别解本征值和本征矢，本征值是一样的，本征矢却差别挺大！

这个是在我求解Kane-Mele模型的矩阵的Pfaffian时遇到的问题。本文在这里记录一下这个问题，暂时还未解决， 如果大家有想法，欢迎留言交流。

问题

这里说明一下我遇到的问题，主要为Mathematica的“精确解”和“数值解”得到的本征矢不一样，所以造成了求解矩阵的Pfaffian时会出现问题！

精确解

哈密顿量为

时间反演算符为

注意实际作用时需要先作用Conjugate，再作用UT。

正格子基矢为

倒格子基矢为

四个时间反演不变点为

矩阵的定义为

我们用Mathematica定义函数并求解，发现在四个时间反演不变点得到的矩阵确实是反对称矩阵。

通过Mathematica求解矩阵的Pfaffian，得到

Mathematica求解反对称矩阵的Pfaffian在Wolfram函数资源库中，具体见

https://resources.wolframcloud.com/FunctionRepository/resources/Pfaffian

相关的参考文献见

Wimmer, M., “Algorithm 923: Efficient Numerical Computation of the Pfaffian for Dense and Banded Skew-Symmetric Matrices.” ACM Trans. Math. Softw., vol. 38, no. 4, 1–17, 2012. DOI: 10.1145/2331130.2331138.

数值解

通过上边“精确解”的计算，我们看到一路走下来没有问题！接下来，看一下“数值解”，我这里把正格子基矢用N这个函数数值化。

可以看到，后续相关结果都会数值化，如下

再往下进行，可以发现wk[GPi0]和wk[GPiPi]不是反对称矩阵了，所以它们的Pfaffian无法计算，如下

这样，我们看到“数值解”出现了问题！为了进一步查找原因，我们选择“精确解”的GPiPi点进行测试。

测试

“精确解”的GPiPi点为

它的“精确解”和“数值解”对应的矩阵分别定义为t1和t2，可以看到在Chop函数下，它们是相等的（用==判断），但是在精度上它们是不相等的（用===判断）。

求解本征值和本征矢，发现本征矢不一样！

我不清楚Mathematica是如何求解“精确解”和“数值解”的，所以这个问题没有解决。如果你有一些想法，欢迎留言交流。

总结起来，对于Kane-Mele模型，我们知道“精确解”，但是对于实际模型，晶格基矢往往是“数值解”，这个时候我们可能无法给出反对称矩阵并且计算它的Pfaffian了。

当然，如果我们关注四个时间反演不变点，有，大概可以通过这样替换解决问题。